Aufgabe

Gegeben ist die Funktion f mit der Funktionsgleichung f(x)=\frac{e^x-4}{e^x+1} in ihrere maximalen Definitionsmenge D_f=\mathbb{R} und mit ihrem Graphen G_f.

1. Bestimmen Sie die Nullstellen von f.

2. Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte f(x) für x\to -\infty und geben Sie \lim_{x\to\infty} sowie Art und Gleichungen der Asymptoten von G_f an.

3. Ermitteln Sie die maximalen Monotonieintervalle von G_f.

4. Bestimmen Sie die Koordinaten des Wendepunkte von G_f.

5. Skizzieren Sie mithilfe der bisherigen Ergebnisse möglichst genau den Verlauf von G_f. Zeichnen Sie auch die beiden Asymptoten ein.

Lösungen

Lösungen e-Funktion II

Prerequisites

Was man können soll, ist nicht wesentlich anders, als bei der ersten Übung zur e-Funktion auch. Dennoch kann es ja nicht schaden, es hier aufzuführen:

1. Was sind die grundlegenden Eigenschaften der e-Funktion?
2. Wie leitet man ab (insbesondere mit der Quoientenregel)?
3. Wie bestimmt man Grenzwerte (z.B. bei gebrochenrationalen Funktionen)?
4. Wie kann man Ungleichungen lösen (z.B. für VZ-Tabellen der Ableitung)?

Weiter geht es mit den Übungen: Nach denen zur ln-Funktion gibt es nun auch eine zu der e-Funktion. Prinzipiell ist diese genauso aufgebaut wie die anderen Aufgaben auch: Zunächst die Angabe, dann die Lösungen auf verschiedene Art und Weise und danach ein paar Voraussetzungen, die beim Lösen bzw. beim Verstehen der Lösung weiterhelfen könnten.

Aufgabe

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)=(x^2-4)e^x in ihrer maximalen Definitionsmenge D_f = \mathbb{R} und mit ihrem Graphen G_f.

1. Bestimmen Sie alle Schnittpunkte von G_f mit den Koordinatenachsen.

2. Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte f(x) für \vert x\vert \to\infty und geben Sie damit Art und Gleichung der Asymptote von G_f an.

3. Ermitteln Sie dei maximalen Monotonieintervalle von G_f und geben Sie damit Art und Lage der Extrempunkte von G_f an. Runden Sie gegebenenfalls auf zwei Nachkommastellen.

4. Skizzieren Sie mithilfe der bisherigen Ergebnisse möglichst genau den Verlauf von G_f.

Lösungen

Lösungen e-Funktion I

Prerequisites

1. Was sind die grundlegenden Eigenschaften der e-Funktion?
2. Wie leitet man ab (insbesondere mit der Produktregel)?
3. Wie bestimmt man Grenzwerte (z.B. bei gebrochenrationalen Funktionen)?
4. Wie kann man Ungleichungen lösen (z.B. für VZ-Tabellen der Ableitung)?

Bei der ersten Übung war die ln-Funktion mit einer quadratischen Funktion verkettet. Bei dieser Übung ist die ln-Funktion nun anders verknuddelt. Ansonsten ist der Aufbau der Lösungen fast identisch zu der der letzten Aufgabe: Nach den Angaben gibt es die Lösungen auf verschiedene Arten, am Ende ist ein Teil dessen aufgeführt, was man wissen sollte, um die Lösungen eventuell besser verstehen zu können.

Aufgabe

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)=3(\ln(x))^2-\ln(x^3) in ihrer maximalen Definitionsmenge D_f= \mathbb{R}^+ und mit ihrem Graphen G_f .

1. Zeigen Sie, dass sich die Funktionsgleichung auch in der Form f(x)=3\ln(x)\cdot (\ln(x)-1) darstellen lässt. Bestimmen Sie die Nullstellen von f.
2. Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte f(x) für x\to 0 und geben Sie damit Art und Gleichung der Asymptote von G_f an. Geben Sie auch das Verhalten der Funktionswerte für x\to \infty an.
3. Ermitteln Sie die maximalen Monotonieintervalle von G_f und geben Sie damit Art und x-Koordinate des Extrempunkts vonG_f an.
4. Skizzieren Sie mithilfe der bisherigen Ergebnisse möglichst genau den Verlauf von G_f.

Lösungen

Lösungen II

Prerequisites

1. Wie wendet man Logarithmusgesetze an?
2. Wie berechnet man Grenzwerte (z.B. bei gebrochenrationalen Funktionen)?
3. Wie wendet man die Ableitungsregeln an, insbesondere Produktregel?

Bisher beinhalteten die meisten meiner Beiträge und Seiten grundlegenden Stoff. Dies diente hauptsächlich dem Verständnis, doch natürlich gehört auch das Üben zur Mathematik dazu. Daher hier nun eine erst Übung – zu einer verketteten ln-Funktion.

Aufgabe

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)=\frac{3}{2}\cdot \ln(-(x^2+6x+5)) in ihrer maximalen Definitionsmenge D_f\subseteq \mathbb{R} und mit ihrem Graphen G_f

1. Bestimmen Sie die maximale Definitionsmenge D_f .
2. Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte f(x) für x\to -1 .
3. Berechnen Sie die Nullstellen von f.
4. Bestimmen Sie Art und Koordinaten des Extrempunkts von G_f
5. Zeigen Sie, dass der Graph von f keinen Wendepunkt besitzt.

Lösungen

Im Folgenden kann man seine Lösungen auf verschiedene Arten kontrollieren: Teilaufgabe für Teilaufgabe mit wenig Text aber den wichtigsten Rechnungen, als ausführlicheres PDF zum Herunterladen oder auch als (hoffentlich nicht zu langes) Video.

Ein Teil der Werkzeuge, die man zum Lösen eventuell nützlich finden könnte, sind dann weiter unten unter Prerequisites verlinkt.

Lösungen I

Prerequisites

1. Wie kann man Ungleichungen lösen?
2. Wie berechnet man Grenzwerte (bei gebrochenrationalen Funktionen)?
3. Wie sind die grundlegenden Eigenschaften der ln-Funktion? (Nullstelle, Definitionsbereich,…)
4. (und 5.) Wie wendet man die Ableitungsregeln an, insbesondere Ketten- und Quotientenregel?