Übung verkettete e-Funktion II
Aufgabe
Gegeben ist die Funktion f mit der Funktionsgleichung f(x)=\frac{e^x-4}{e^x+1} in ihrere maximalen Definitionsmenge D_f=\mathbb{R} und mit ihrem Graphen G_f.
1. Bestimmen Sie die Nullstellen von f.
2. Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte f(x) für x\to -\infty und geben Sie \lim_{x\to\infty} sowie Art und Gleichungen der Asymptoten von G_f an.
3. Ermitteln Sie die maximalen Monotonieintervalle von G_f.
4. Bestimmen Sie die Koordinaten des Wendepunkte von G_f.
5. Skizzieren Sie mithilfe der bisherigen Ergebnisse möglichst genau den Verlauf von G_f. Zeichnen Sie auch die beiden Asymptoten ein.
Lösungen
Lösungen e-Funktion II
Prerequisites
Was man können soll, ist nicht wesentlich anders, als bei der ersten Übung zur e-Funktion auch. Dennoch kann es ja nicht schaden, es hier aufzuführen:
- Was sind die grundlegenden Eigenschaften der e-Funktion?
- Wie leitet man ab (insbesondere mit der Quoientenregel)?
- Wie bestimmt man Grenzwerte (z.B. bei gebrochenrationalen Funktionen)?
- Wie kann man Ungleichungen lösen (z.B. für VZ-Tabellen der Ableitung)?