Übung verkettete ln-Funktion I

Bisher beinhalteten die meisten meiner Beiträge und Seiten grundlegenden Stoff. Dies diente hauptsächlich dem Verständnis, doch natürlich gehört auch das Üben zur Mathematik dazu. Daher hier nun eine erst Übung – zu einer verketteten ln-Funktion.

Aufgabe

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x)=\frac{3}{2}\cdot \ln(-(x^2+6x+5))$ in ihrer maximalen Definitionsmenge $D_f\subseteq \mathbb{R}$ und mit ihrem Graphen $G_f$

Bestimmen Sie die maximale Definitionsmenge $D_f$ .
Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte $f(x)$ für $x\to -1$ .
Berechnen Sie die Nullstellen von f.
Bestimmen Sie Art und Koordinaten des Extrempunkts von $G_f$
Zeigen Sie, dass der Graph von f keinen Wendepunkt besitzt.

Lösungen

Im Folgenden kann man seine Lösungen auf verschiedene Arten kontrollieren: Teilaufgabe für Teilaufgabe mit wenig Text aber den wichtigsten Rechnungen, als ausführlicheres PDF zum Herunterladen oder auch als (hoffentlich nicht zu langes) Video.

Ein Teil der Werkzeuge, die man zum Lösen eventuell nützlich finden könnte, sind dann weiter unten unter Prerequisites verlinkt.

Lösungen I

1. Definitionsmenge

Ansatz: $-(x^2+6x+5)>0 \Leftrightarrow -x^2-6x-5>0$ Lösung mit Skizze, dazu NS berechnen: $x^2+6x+5=0$ Mit MNF folgt $x_{1,2}=\frac{-6\pm \sqrt{6^2-4\cdot 1\cdot 5 }}{2\cdot 1}=\frac{-6\pm \sqrt{16}}{2}$ Also $x_1=-5$ und $x_2=-1$ . Skizze ergibt nach unten geöffnete Parabel; also zwischen den NS oberhalb der x-Achse. $\Rightarrow D_f=]-5,-1[$

2. Grenzwerte

Annäherung von links: Wegen  $-(x^2+6x+5) \to 0^+$  für  $x\to -1^+$  und den Eigenschaften der ln-Funktion folgt $\frac{3}{2}\ln(-(x^2+6x+5)) \to -\infty$  für  $x\to -1^+$

3. Nullstellen

Weil  $\ln(1)=0$  ist, muss  $-(x^2+6x+5)=1$  sein. Es folgt  $-x^2-6x-5=1\Leftrightarrow-x^2-6x-6=0$ .Mit MNF:  $x_1=-3+\sqrt{3}$  und  $x_2=-3-\sqrt{3}$ . Beide Werte gehören zur Definitionsmenge von f.

4. Extrempunkte

Es ergibt sich:  $f'(x)=\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{-(x^2+6x+5)}\cdot (-2x-6)=\frac{3}{2}\cdot\frac{-2x-6}{-(x^2+6x+5)}$ . Ansatz:  $f'(x)=0\Rightarrow -2x-6=0$  (Bruch ist 0, wenn der Zähler 0 ist). Hieraus ergibt sich:  $-2x=6\Leftrightarrow x=-3$ Z.B. mit VZ-Skizze: Bei -3 VZ-Wechsel von + nach -, also ist dort ein HOP.  $f(-3)=3\ln(2)\Rightarrow HOP(-3\vert 3\ln(2))$

5. Untersuchung Wendepunkte

Mit 2. Ableitung:

 $f''(x)=\frac{3}{2}\cdot \frac{-2\cdot(-(x^2+6x+5))-(-2x-6)\cdot (-(2x+6))}{(-(x^2+6x+5))^2}$   $=\frac{3}{2}\cdot\frac{2x^2+12x+10-(4x^2+12x+12x+36)}{(x^2+6x+5)^2}=\frac{3}{2}\cdot\frac{-2x^2-12x-26}{(x^2+6x+5)^2}$ Ansatz:  $f''(x)=0 \Rightarrow -2x^2-12x-26=0$ Diskriminante MNF:  $D=12^2-4\cdot (-2)\cdot (-26)=-64$   $\Rightarrow$  Keine NS der 2. Ableitung, kein Wendepunkt.

Hier sind die Aufgaben und Lösungen als PDF zum Download.

Prerequisites

Wie kann man Ungleichungen lösen?
Wie berechnet man Grenzwerte (bei gebrochenrationalen Funktionen)?
Wie sind die grundlegenden Eigenschaften der ln-Funktion? (Nullstelle, Definitionsbereich,…)
(und 5.) Wie wendet man die Ableitungsregeln an, insbesondere Ketten- und Quotientenregel?