Übung verkettete ln-Funktion II

Bei der ersten Übung war die ln-Funktion mit einer quadratischen Funktion verkettet. Bei dieser Übung ist die ln-Funktion nun anders verknuddelt. Ansonsten ist der Aufbau der Lösungen fast identisch zu der der letzten Aufgabe: Nach den Angaben gibt es die Lösungen auf verschiedene Arten, am Ende ist ein Teil dessen aufgeführt, was man wissen sollte, um die Lösungen eventuell besser verstehen zu können.

Aufgabe

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)=3(\ln(x))^2-\ln(x^3) in ihrer maximalen Definitionsmenge D_f= \mathbb{R}^+ und mit ihrem Graphen G_f .

1. Zeigen Sie, dass sich die Funktionsgleichung auch in der Form f(x)=3\ln(x)\cdot (\ln(x)-1) darstellen lässt. Bestimmen Sie die Nullstellen von f.
2. Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte f(x) für x\to 0 und geben Sie damit Art und Gleichung der Asymptote von G_f an. Geben Sie auch das Verhalten der Funktionswerte für x\to \infty an.
3. Ermitteln Sie die maximalen Monotonieintervalle von G_f und geben Sie damit Art und x-Koordinate des Extrempunkts vonG_f an.
4. Skizzieren Sie mithilfe der bisherigen Ergebnisse möglichst genau den Verlauf von G_f.

Lösungen

[TABS_R id=481]

Prerequisites

1. Wie wendet man Logarithmusgesetze an?
2. Wie berechnet man Grenzwerte (z.B. bei gebrochenrationalen Funktionen)?
3. Wie wendet man die Ableitungsregeln an, insbesondere Produktregel?