Bei der ersten Übung war die ln-Funktion mit einer quadratischen Funktion verkettet. Bei dieser Übung ist die ln-Funktion nun anders verknuddelt. Ansonsten ist der Aufbau der Lösungen fast identisch zu der der letzten Aufgabe: Nach den Angaben gibt es die Lösungen auf verschiedene Arten, am Ende ist ein Teil dessen aufgeführt, was man wissen sollte, um die Lösungen eventuell besser verstehen zu können.
Aufgabe
Gegeben ist die Funktion f mit f(x)=3(\ln(x))^2-\ln(x^3) in ihrer maximalen Definitionsmenge D_f= \mathbb{R}^+ und mit ihrem Graphen G_f .
Zeigen Sie, dass sich die Funktionsgleichung auch in der Form f(x)=3\ln(x)\cdot (\ln(x)-1) darstellen lässt. Bestimmen Sie die Nullstellen von f.
Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte f(x) für x\to 0 und geben Sie damit Art und Gleichung der Asymptote von G_f an. Geben Sie auch das Verhalten der Funktionswerte für x\to \infty an.
Ermitteln Sie die maximalen Monotonieintervalle von G_f und geben Sie damit Art und x-Koordinate des Extrempunkts vonG_f an.
Skizzieren Sie mithilfe der bisherigen Ergebnisse möglichst genau den Verlauf von G_f.
Umformung: Wegen \ln(x^3)=3\ln(x) (Logarithmusgesetze) folgt: f(x)=3(\ln(x))^2-ln(x^3)=3(\ln(x))^2-3\ln(x)=3\ln(x)\cdot (\ln(x)-1) Dies war zu zeigen. Nullstellen: Ansatz f(x)=0 \Rightarrow 3\ln(x)\cdot (\ln(x)-1)=0 Daher: 3\ln(x)=0\Rightarrow x_1=1 oder (\ln(x)-1)=0\Leftrightarrow \ln(x)=1\Rightarrow x_2=e
Für x\to \infty folgt f(x)\to\inftyAnderer Grenzwert: Für x\to 0^+ folgt f(x)\to\infty, denn 3\ln(x)\to -\infty und \ln(x)-1) \to -\infty\Rightarrow G_f hat eine senkrechte Asymptote mit der Gleichung x=0.
Als Ableitung erhalten wir mit der Produktregel aus f(x)=3\ln(x)\cdot (\ln(x)-1) nun: f'(x)=3\cdot \frac{1}{x}(\ln(x)-1)+3\ln(x)\cdot \frac{1}{x}=\frac{1}{x}\cdot (3(\ln(x)-1)+3\ln(x))=\frac{6\ln(x)-3}{x}. Aus f'(x)=0 folgt 6\ln(x)-3=0\Leftrightarrow 6\ln(x)=3\Leftrightarrow\ln(x)=\frac{1}{2}\Rightarrow x_1=e^{\frac{1}{2}}=\sqrt{e}.Z.B. mit einer Vorzeichentabelle erhalten wir f'(x)<0 für x<\sqrt{e} sowie f'(x)>0 für x>\sqrt{e}.Dadurch ergibt sich: G_f ist smf in ]0;\sqrt{e}] und G_f ist sms in [\sqrt{e};\infty[. Damit ist bei \sqrt{e} offensichtlich ein Tiefpunkt.
