Mathematik
Übung verkettete ln-Funktion I
Bisher beinhalteten die meisten meiner Beiträge und Seiten grundlegenden Stoff. Dies diente hauptsächlich dem Verständnis, doch natürlich gehört auch das Üben zur Mathematik dazu. Daher hier nun eine erst Übung – zu einer verketteten ln-Funktion.
Aufgabe
Gegeben ist die Funktion f mit f(x)=\frac{3}{2}\cdot \ln(-(x^2+6x+5)) in ihrer maximalen Definitionsmenge D_f\subseteq \mathbb{R} und mit ihrem Graphen G_f
- Bestimmen Sie die maximale Definitionsmenge D_f .
- Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte f(x) für x\to -1 .
- Berechnen Sie die Nullstellen von f.
- Bestimmen Sie Art und Koordinaten des Extrempunkts von G_f
- Zeigen Sie, dass der Graph von f keinen Wendepunkt besitzt.
Lösungen
Im Folgenden kann man seine Lösungen auf verschiedene Arten kontrollieren: Teilaufgabe für Teilaufgabe mit wenig Text aber den wichtigsten Rechnungen, als ausführlicheres PDF zum Herunterladen oder auch als (hoffentlich nicht zu langes) Video.
Ein Teil der Werkzeuge, die man zum Lösen eventuell nützlich finden könnte, sind dann weiter unten unter Prerequisites verlinkt.
Lösungen I
2. Grenzwerte
Annäherung von links: Wegen -(x^2+6x+5) \to 0^+ für x\to -1^+ und den Eigenschaften der ln-Funktion folgt\frac{3}{2}\ln(-(x^2+6x+5)) \to -\infty für x\to -1^+
3. Nullstellen
Weil \ln(1)=0 ist, muss -(x^2+6x+5)=1 sein. Es folgt -x^2-6x-5=1\Leftrightarrow-x^2-6x-6=0.Mit MNF: x_1=-3+\sqrt{3} und x_2=-3-\sqrt{3}. Beide Werte gehören zur Definitionsmenge von f.
4. Extrempunkte
Es ergibt sich: f'(x)=\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{-(x^2+6x+5)}\cdot (-2x-6)=\frac{3}{2}\cdot\frac{-2x-6}{-(x^2+6x+5)}. Ansatz: f'(x)=0\Rightarrow -2x-6=0 (Bruch ist 0, wenn der Zähler 0 ist). Hieraus ergibt sich: -2x=6\Leftrightarrow x=-3Z.B. mit VZ-Skizze: Bei -3 VZ-Wechsel von + nach -, also ist dort ein HOP. f(-3)=3\ln(2)\Rightarrow HOP(-3\vert 3\ln(2))
5. Untersuchung Wendepunkte
Mit 2. Ableitung:
f''(x)=\frac{3}{2}\cdot \frac{-2\cdot(-(x^2+6x+5))-(-2x-6)\cdot (-(2x+6))}{(-(x^2+6x+5))^2} =\frac{3}{2}\cdot\frac{2x^2+12x+10-(4x^2+12x+12x+36)}{(x^2+6x+5)^2}=\frac{3}{2}\cdot\frac{-2x^2-12x-26}{(x^2+6x+5)^2}Ansatz: f''(x)=0 \Rightarrow -2x^2-12x-26=0Diskriminante MNF: D=12^2-4\cdot (-2)\cdot (-26)=-64 \Rightarrow Keine NS der 2. Ableitung, kein Wendepunkt.
Hier sind die Aufgaben und Lösungen als PDF zum Download.
Prerequisites
- Wie kann man Ungleichungen lösen?
- Wie berechnet man Grenzwerte (bei gebrochenrationalen Funktionen)?
- Wie sind die grundlegenden Eigenschaften der ln-Funktion? (Nullstelle, Definitionsbereich,…)
- (und 5.) Wie wendet man die Ableitungsregeln an, insbesondere Ketten- und Quotientenregel?
Die ln-Funktion
Im Video werden die grundlegenden Eigenschaften der ln-Funktion mithilfe derer der e-Funktion hergeleitet. D.h. wer nicht so vertraut mit der e-Funktion ist, sollte vielleicht mit dieser Seite anfangen. Wer mit Logarithmen so gar nichts anzufangen weiß, der sollte sich vielleicht auch erst woanders umschauen…
Man kann sich ein Blatt mit einer Übersicht dieser Eigenschaften herunterladen, ganz am Ende (es ist nicht so weit bis dahin…) gibt es noch einmal Lernkarten zum Wiederholen der grundlegenden Eigenschaften.
Analoges Blatt
Hier das oben versprochene Übersichtsblatt
Digitale Übung
Die e-Funktion
Die Funktion f mit f(x)=e^x mit der eulerschen Zahl e wird als e-Funktion bezeichnet. Im Video geht es um die Zahl e und die grundlegenden Eigenschaften der e-Funktion.
Dann gibt es ein geogebra-Applet mit dem man den Einfluss von Parametern auf den Graphen der e-Funktion selbst untersuchen kann. Als analoges Material gibt es eine Übersicht der grundlegenden Eigenschaften der e-Funktion, die man auch mit den Lernkarten am Ende noch einmal üben kann.Damit (und mit den Werkzeugen zur Kurvendiskussion) sollte man dann ganz gut gerüstet sein, um eins zwei Beispiele zur Kurvendiskussion mit e-Funktionen anzugehen…
Analoges Blatt
Zusammenfassung wichtiger Eigenschaften der e-Funktion.
Digitale Übung
Grundlagen Integration
Im Video wird gezeigt, wie man ein Integral mithilfe von Stammfunktionen berechnen kann und wie man von Funktionen der Form x\mapsto x^n für n\neq -1 eine Stammfunktion bestimmen kann. Es kann ja nicht schaden, sich diese Grundlagen aus der 12. Klasse in Erinnerung zu rufen.
Was im Video ausgeklammert wurde ist, wie man Integrale dann dazu nutzen kann, Flächen zu berechnen.
Dies kann man dann auch bei den Analogen Materialien nachlesen oder direkt mit der digitalen Übung testen.
Analoge Materialien
Digitale Übung
Werkzeuge zur Integration
Mein Prof an der Uni hat immer gesagt: „Ableiten ist Handwerk, Integrieren ist Kunst.“ Aber auch um Kunstwerke zu erschaffen, benötigt man die richtigen Werkzeuge. Daher hier ein paar kurze Videos mit Kniffen und Tricks zum Integrieren von Funktionen. Wie immer abgestimmt auf den Lehrplan für FOS Nichttechnik 13. Klasse – also z.B. ohne Partialbruchzerlegung oder Substitution.
Das erste Video zeigt, wie man reelle Funktionen f der Form f(ax+b) integrieren kann, wenn man von der Funktion f eine Stammfunkion kennt.
Weiterhin gibt es ein Video zur Berechnung von Integralen der Form \int \frac{f'(x)}{f(x)}dx.
Das letzte Video stellt die partielle Integration vor; wer nur die Beispiele dazu sehen möchte, kann auch die Herleitung der partiellen Integration überspringen (bei der Beschreibung auf youtube sind Quicklinks dafür angegeben).
Berechnung von \int f(ax+b) dx mit einer Stammfunktion von f
Berechnung von Integralen der Form \int \frac{f'(x)}{f(x)}dx
Partielle Integration
Digitale Übung